Tetraeder Information

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Regelmäßiges Tetraeder, ein Platonischer Körper
120px-Tetrahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen 4
Anzahl der Ecken 4
Anzahl der Kanten 6
Schläfli-Symbol {3,3}
dual zu Tetraeder
Körpernetz
im Bild eins von zwei möglichen Netzen
Tetrahedron flat.svg
Anzahl verschiedener Netze 2
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 3

Das (auch, vor allem süddeutsch, der) Tetraeder [ tetraˈeːdər] (von altgriechisch τετρα- tetra- „vier“ und ἕδρα hédra „Sitz“, „Sessel“, „Gesäß“ bzw. übertragen „Seitenfläche“), auch Vierflächner oder Vierflach, ist ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen. Es ist das einzige konvexe Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit vier Flächen.

Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige Tetraeder mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen, das ein platonischer Körper ist, gemeint.

Das allgemeine Tetraeder wird je nach Symmetrie als dreiseitige Pyramide, Dreieckpyramide, [1] Disphenoid oder dreidimensionales Simplex bezeichnet.

Regelmäßiges Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder (reguläre Tetraeder) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein Polyeder mit

Das regelmäßige Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das regelmäßige Tetraeder ein reguläres Polyeder. Es hat

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Tetraeders – die Tetraedergruppe – 24 Elemente. Sie ist die symmetrische Gruppe S4 (die Punktgruppe Td nach Schoenflies bzw. 43m nach Hermann-Mauguin) und bewirkt alle 4! = 24 Permutationen der Ecken bzw. der Seitenflächen. Sie ist eine Untergruppe der Oktaedergruppe oder Würfelgruppe.

Im Einzelnen gehören zur Tetraedergruppe

sowie

  • 12 ungerade Permutationen. Diese erhält man, indem man nach jeder der 12 geraden Permutationen noch die Spiegelung an einer festen Symmetrieebene durchführt. 6 davon lassen sich auch als eine reine Ebenenspiegelung beschreiben, die anderen sechs als Drehspiegelungen von Drehung um 90° um eine Achse, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, und Spiegelung an der zu dieser Achse senkrechten Ebene, die den Mittelpunkt zwischen den beiden gegenüberliegenden Kanten beinhaltet.

Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe der Tetraedergruppe, die so genannte alternierende Gruppe (die Punktgruppe T bzw. 23). Manchmal wird der Begriff Tetraedergruppe auch nur für diese unter Ausschluss der Spiegelungen verwendet.

Das Tetraeder ist der einzige platonische Körper, der nicht punktsymmetrisch ist und bei dem jede Ecke einer Fläche gegenüberliegt.

Weitere Eigenschaften

Verhältnis zu Oktaeder, Würfel, archimedischen Körpern

Tetraeder mit dualem einbeschriebenen Tetraeder. Die Mittelpunkte der gleichseitigen Dreiecke des äußeren Tetraeders sind die Ecken des inneren Tetraeders.

Durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält man wieder ein Tetraeder (siehe Abbildung). Man sagt deshalb: Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, kurz: selbst-dual. Die Seitenlänge des einbeschriebenen Tetraeders beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge.

Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Tetraedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

Siehe dazu auch das Beispiel weiter unten.

Umgebender Würfel

Das Tetraeder kann in einen Würfel ( Hexaeder) so einbeschrieben werden, dass seine Ecken zugleich Würfelecken und seine Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind (siehe Abbildung). Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens. Die 8 Ecken des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen des Tetraeders entsprechen.

Zwei Tetraeder im Würfel haben als Vereinigungsmenge ein Sterntetraeder.
Zwei Tetraeder im Würfel haben als dreidimensionale Schnittmenge ein Oktaeder.

Tetraeder umschreibt Oktaeder

Wird ein Oktaeder von einem Tetraeder umschrieben, sind die sechs Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der sechs Tetraederkanten und liegen vier der acht Oktaederflächen in den Seitenflächen eines der beiden möglichen Tetraeder. [2]

Tetraeder umschreibt Oktaeder

Winkel

Aufriss eines Tetraeders

Der Flächenwinkel zwischen zwei Seitenflächen des regelmäßigen Tetraeders  beträgt 70,53° ().

Jede Kante bildet mit der Fläche, auf der sie steht, einen Winkel  von 54,74° ().

Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zwei Ecken schließen jeweils einen Winkel von   = 109,47° () ein.

Dieser wird als Tetraederwinkel bezeichnet, und er spielt eine wichtige Rolle in der Chemie, beispielsweise bei der Geometrie des Methan-Moleküls.

Die Größen der angegebenen Winkel lassen sich durch Anwendung trigonometrischer Funktionen ermitteln (siehe stumpfer Winkel). Man betrachtet dazu die Schnittfigur des Tetraeders (siehe Abbildung) mit einer seiner sechs Symmetrieebenen.

Querschnitt

Quadratischer Querschnitt durch einen Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ist. Die entstehenden Teile des Tetraeders sind kongruent zueinander.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu einer der vier Seitenflächen, dann ergibt der Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten, dann ergibt der Querschnitt ein Rechteck. Hat die Schnittebene zusätzlich noch von diesen beiden Kanten den gleichen Abstand, also teilt sie die übrigen vier Kanten genau zur Hälfte, dann ist das Schnittbild ein Quadrat. Das Quadrat hat eine Kantenlänge, die genau halb so lang ist wie die Länge einer Kante des Tetraeders.

Beispiel

Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit und sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit und , so bilden und sowie und jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z. B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel, dessen Ecken die Koordinaten und haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken

  • und .

Die Kanten sind: und . Die Seitenflächen sind die Dreiecke und .

Das zweite Tetraeder hat die Ecken

  • und .

Die dreidimensionale Schnittmenge dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten und bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigungsmenge ist das Sterntetraeder. Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel.

Formeln

Größen eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge a
Volumen

01 Tetraeder-Größen.png

  ohne Raumwinkel in den Ecken
Oberflächeninhalt
Umkugelradius [3]
Kantenkugelradius [4]
Inkugelradius [5]
Pyramidenhöhe
Kantenabstand
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen
Innenwinkel des
gleichseitigen Dreiecks
Winkel zwischen
benachbarten Flächen
 
Winkel zwischen
Kante und Fläche
 
Tetraederwinkel
Raumwinkel in den Ecken

Berechnung des regelmäßigen Tetraeders

Volumen

Für Pyramiden und somit für das Tetraeder gilt

darin ist die Grundfläche (gleichseitiges Dreieck)

und die Höhe der Pyramide

mit eingesetzten Variablen wird

Oberflächeninhalt

Für den Oberflächeninhalt des Tetraeders (vier gleichseitige Dreiecke) gilt

Pyramidenhöhe

Die Höhe der Pyramide ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind (siehe Bild in Formeln): Seitenhöhe als Hypotenuse, Pyramidenhöhe als große Kathete und ein Drittel der Seitenhöhe als kleine Kathete. Dieser Wert ist durch die Position des Fußpunktes von (Flächenschwerpunkt der Grundfläche) bestimmt. Der geometrische Schwerpunkt teilt die Höhe des Dreiecks im Verhältnis 2:1.

Für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks gilt

 

und nach dem Satz des Pythagoras

Winkel zwischen benachbarten Flächen

Dieser Winkel, bezeichnet mit , hat seinen Scheitel an einer Kante des Tetraeders. Er ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind (siehe Bild in Formeln): Seitenhöhe als Hypotenuse, Pyramidenhöhe als große Kathete und ein Teil der Seitenhöhe (siehe hierzu Höhen) als kleine Kathete.

Nach dem satz des Pythagoras gilt

Winkel zwischen Kante und Fläche

Dieser Winkel, bezeichnet mit , hat seinen Scheitel an einer Ecke des Tetraeders. Winkel ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind (siehe Bild in Formeln): Pyramidenkante als Hypotenuse, Pyramidenhöhe als große Kathete und ein Teil der Seitenhöhe (siehe hierzu Höhen) als kleine Kathete.

Für den Winkel gilt

Tetraederwinkel

Dieser Winkel, bezeichnet mit , hat seinen Scheitel am Mittelpunkt des Tetraeders. Der Winkel ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind (siehe Bild in Formeln): Umkugelradius als Hypotenuse, halbe Kantenlänge als große Kathete und der halbe Kantenabstand als kleine Kathete.

Für den Winkel gilt

Raumwinkel in den Ecken

Einen Lösungsweg für den Raumwinkel zeigt die folgende Formel, beschrieben in Platonischer Körper

[6]

Mit der Anzahl der Kanten/Flächen an einer Ecke und dem Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks gilt

wegen wird damit

eingesetzt in und umgeformt

Vereinfachung [7]

Netze des regelmäßigen Tetraeders

Animation eines Tetraedernetzes

Das Tetraeder hat zwei Netze (siehe Abbildungen) [8] Das heißt, es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, ein hohles Tetraeder durch Aufschneiden von 3 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 3 Kanten verbinden jeweils die 4 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Tetraeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man 4 Farben.

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen

Das Tetraeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 4 Knoten, 6 Kanten und 4 Gebieten. Dies ist der vollständige Graph K4. Er ist 3- regulär, d. h. von jedem Knoten gehen 3 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 3 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Tetraedergraphen entsprechen den Ecken des Tetraeders.

Färbungen veranschaulicht

Die Knoten des Tetraedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, denn alle Knoten sind benachbart. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind (siehe Abbildungen). Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Der Tetraedergraph ist selbstdual.

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph hilfreich, der in diesem Fall selbst ein Tetraedergraph mit 4 Knoten, 6 Kanten und 4 Gebieten ist. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des ursprünglichen Tetraedergraph eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des dualen Tetraedergraphen können wie gesagt offensichtlich nur mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Tetraeders oder eine Färbung der Gebiete des Tetraeders nötig.

Knotenfärbung des Tetraedergraphen
Kantenfärbung des Tetraedergraphen
Flächenfärbung des Tetraedergraphen

Die 3 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken ( Knoten) einen Spannbaum des Tetraedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige ( bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Tetraedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 4 Knoten und 3 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Tetraeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommen die 2 graphentheoretischen Konstellationen (siehe Isomorphie von Graphen) jeweils einmal vor.

Der Tetraedergraph besitzt 6 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise. [9]

Teraedergraph mit einem der 6 Hamiltonkreise

Raumfüllungen mit regelmäßigen Tetraedern

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Tetraeder:

Anwendungen

Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt es im kubischen Kristallsystem auf (siehe oben).

Molekül mit Tetraederwinkel

In der Chemie spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. Einfache Molekülgestalten lassen sich mit dem VSEPR-Modell vorhersagen. So sind die vier Wasserstoffatome im Methanmolekül tetraedrisch um das Kohlenstoffatom angeordnet, da so der Bindungswinkel am größten wird. Auch die Kohlenstoffatome im Diamantgitter sind tetraedrisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Das Kohlenstoff-Atom befindet sich dann nach dem Orbital-Modell in sp3- Hybridisierung.

Das Tetraeder war auch für den Tetra Pak wegen dessen ursprünglicher Form namensgebend.

Alexander Graham Bell hat mit vielzelligen Kastendrachen (Flugdrachen) experimentiert, deren Einzelzellen die Form eines Tetraeders haben. Diese meist imposanten Drachen werden als „Bell-Tetraeder“ bezeichnet. Meistens werden 4 oder 10 oder 20 Einzelzellen zu einem Verbund zusammengefügt, welcher dann auch wieder die Form eines Tetraeders hat. Es sind aber auch andere Verbundformen möglich.

In vielen Pen-&-Paper-Rollenspielen werden Tetraeder als vierseitige Spielwürfel (W4) verwendet.

Weitere technische Anwendungen lehnen sich an die Struktur an, die sich durch die vom Tetraederzentrum in die vier Raumecken weisenden Strecken ergibt:

  • Tetrapoden, die an Küsten als Wellenbrecher eingesetzt werden
  • sog. Krähenfüße, eine Defensivwaffe, die von Polizei und Militär gegen Autos eingesetzt wird, um deren Reifen platzen zu lassen.

Allgemeines Tetraeder

Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache dreidimensionales Simplex oder 3- Simplex genannt. Die zweidimensionalen Simplizes sind die Dreiecke.

Im kann ein Tetraeder auch durch einen Punkt und den drei Vektoren zu den angrenzenden Punkten beschrieben werden. Bezeichnet man diese Vektoren mit , so berechnet sich das Volumen des Tetraeders mit , also des Betrags des Spatproduktes.

Die Summe der einheitlich nach außen oder innen weisenden Normaleneinheitsvektoren, die mit dem Inhalt der Fläche multipliziert werden, auf der sie stehen, ist der Nullvektor, denn

Berechnung eines beliebigen Tetraeders

Ein Tetraeder besitzt 6 Kanten. Ein Dreieck ist durch die Angabe dreier Seitenlängen bestimmt. Jede weitere Kante kann in gewissen Grenzen frei gewählt werden. Liegen also 6 voneinander unabhängige Angaben zur Größe von Kanten oder Winkeln vor, kann man daraus die jeweils fehlenden übrigen Kanten oder Winkel berechnen.

Volumen

Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders wurde von Leonhard Euler angegeben. [10] [11] Mit dieser Formel kann das Volumen des allgemeinen Tetraeders mit Hilfe der 6 Kantenlängen des Tetraeders berechnet werden. [12] Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung für Tetraeder zugrunde wie für Dreiecke der Formel von Heron.

Sind die Kantenlängen der dreieckigen Grundfläche des Tetraeders und die Längen der im Raum gegenüberliegenden Kanten, dann gilt für das Volumen des Tetraeders:

mit

Zur Berechnung des Volumens können auch die folgenden Gleichungen verwenden, die auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen: [13] [14] [15]

Die erste Determinante wird Cayley–Menger-Determinante genannt und dient dazu, den Flächeninhalt von beliebigen Dreiecken (siehe Satz des Heron), das Volumen von beliebigen Tetraedern und allgemein das Volumen eines beliebigen Simplex im -dimensionalen Raum zu berechnen.

Oberflächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit gegebenen Seitenlängen kann einzeln berechnet werden. Die Summe der Flächeninhalte der 4 Dreiecke ergibt den Oberflächeninhalt des Tetraeders. Für den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche mit den Seitenlängen zum Beispiel gilt nach dem Satz des Heron:

Höhen

Weil jedes Tetraeder eine Pyramide ist, gilt für das Volumen , den Flächeninhalt der Grundfläche und die entsprechende Höhe folgende Gleichung:

Das Volumen und der Flächeninhalt können mit den oben genannten Formeln berechnet und dann eingesetzt werden, um die Höhe zu bestimmen. Die anderen drei Höhen können entsprechend mit Hilfe der Fläche des zur Höhe orthogonalen Dreiecks berechnet werden.

Innenwinkel der Dreiecke

Die Innenwinkel der Dreiecke bestimmt man mit dem Kosinussatz. Für den Innenwinkel der Grundfläche, der der Seite gegenüberliegt, gilt zum Beispiel

Winkel zwischen benachbarten Flächen

Der Flächenwinkel an der Kante beträgt

Dabei ist das Volumen des Tetraeders und und die Flächeninhalte der zur Kante benachbarten Dreiecke.

Raumwinkel in den Ecken

Für die Berechnung der Raumwinkel in den Ecken des Tetraeders werden die Innenwinkel der drei benachbarten Dreiecke verwendet:

mit

Verallgemeinerung

Die Analoga des Tetraeders in beliebiger Dimension werden als (-dimensionale) Simplizes bezeichnet. Das -dimensionale Simplex hat Ecken und wird von Simplizes der Dimension (als Facetten) begrenzt. Ein nulldimensionales Simplex ist ein Punkt, ein eindimensionales Simplex ist eine Strecke, ein zweidimensionales Simplex ist ein Dreieck. Das vierdimensionale Äquivalent zum Tetraeder, das Pentachoron, hat 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten.

Die Koordinaten eines regulären - Simplex können als Menge im -dimensionalen euklidischen Raum definiert werden:

Beispielsweise für ergibt sich hier ein gleichseitiges Dreieck, das von den Punkten im dreidimensionalen Raum aufgespannt wird.

Sierpinski-Tetraeder

Das Sierpinski-Tetraeder. Die Anzahl der Teil-Tetraeder vervierfacht sich mit jedem Iterationsschritt, das Volumen geht gegen 0, der Flächeninhalt der Oberfläche bleibt konstant

Das Sierpinski-Tetraeder ist die dreidimensionale Verallgemeinerung des Sierpinski-Dreiecks. Die Startfigur ist ein Tetraeder. Aus dessen Mitte wird in jedem Iterationsschritt ein Oktaeder mit halber Kantenlänge herausgeschnitten. Übrig bleiben 4 Tetraeder, aus denen wieder je ein Oktaeder herausgeschnitten wird usw. [16] [17]

Nach dem Iterationsschritt sind offensichtlich Teil-Tetraeder mit derselben Seitenlänge entstanden. Die Anzahl der herausgeschnittenen Oktaeder mit verschiedener Seitenlänge beträgt .

Die Dimension für dieses Gebilde ist , obwohl es sich hierbei um eine Figur im dreidimensionalen Raum handelt. Mit einer zunehmenden Zahl von Iterationsschritten geht das Volumen der Figur gegen 0, der Flächeninhalt der Oberfläche bleibt jedoch konstant, weil sich die Anzahl der Seitenflächen der zueinander deckungsgleichen Teil-Tetraeder mit jedem Iterationsschritt vervierfacht, während sich die Seitenlänge dieser Seitenflächen, die alle deckungsgleiche Dreiecke sind, halbiert.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Commons: Tetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Tetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Kurt Peter Müller: Raumgeometrie: Raumphänomene – Konstruieren – Berechnen. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-519-12397-2, S. 81.
  2. Jürgen Köller: Tetraeder. Vom Tetraeder zu anderen Körpern. mathematische-basteleien, abgerufen am 5. September 2020.
  3. Eric Weisstein, Frank Jackson: Regular Tetrahedron. Umkugelradius, Formel (5). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 19. Juni 2020.
  4. Eric Weisstein, Frank Jackson: Regular Tetrahedron. Kantenkugelradius, Formel (10). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 19. Juni 2020.
  5. Eric Weisstein, Frank Jackson: Regular Tetrahedron. Inkugelradius, Formel (4). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 19. Juni 2020.
  6. Harish Chandra Rajpoot: Solid angles subtended by the platonic solids (regular polyhedra) at their vertices. SlideShare, März 2015, abgerufen am 16. Juni 2020.
  7. Alternativer Ausdruck für . WolramAlpha, abgerufen am 16. Juni 2020.
  8. Eric Weisstein, Frank Jackson: Regular Tetrahedron. 2 Netze, oberhalb Formel (1). In: Wolfram MathWorld. Wolfram Research, Inc., abgerufen am 19. Juni 2020.
  9. Wolfram MathWorld: Tetrahedral Graph
  10. Maximilian Miller: Stereometrie. 1957, S. 41
  11. Der Titel der Abhandlung E 231 lautet auf Deutsch etwa wie folgt: Darlegung einiger kennzeichnender Eigenschaften, mit denen von ebenen Flächen eingeschlossene Körper ausgestattet sind. In dieser Abhandlung gibt Euler den ersten Beweis der Polyederformel an, welche er schon in einer früheren Abhandlung (E 230, abgedruckt unter Elementa doctrinae solidorum, Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4, S. 109–140; vgl. Einleitung zu den Commentationes geometricae) erwähnt, aber noch nicht bewiesen hatte.
  12. Andreas Speiser et al.: Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. 1953, S. 106–107
  13. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2008, S. 157
  14. György Hajós: Einführung in die Geometrie. 1970, S. 383
  15. Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. 2012, S. 297
  16. Wolfram MathWorld: Tetrix
  17. Gayla Chandler, Hideki Tsuiki: Photographs: Sierpinski Tetrahedron and its Complement