Liste von Trägheitstensoren Information

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Der Trägheitstensor (Formelzeichen , Dimension M L², SI-Einheit kg m²) eines starren Körpers gibt seine Trägheitsmomente an, also den Widerstand des Körpers gegen beschleunigte Drehungen. Der Trägheitstensor spielt für Drehungen eine vergleichbare Rolle wie die Masse für Translationsbewegungen. Er darf nicht verwechselt werden mit dem Flächenträgheitsmoment, das bei Balkenbiegungen verwendet wird.

Die Berechnung des Trägheitstensors realer Körper erfordert die Auswertung von Volumenintegralen, was entsprechend aufwändig ist. Einfacher gestaltet sich die Bestimmung, wenn der Körper aus Teilen zusammengesetzt ist, deren Trägheitstensor bekannt ist. Mit der Regel für die Tensortransformation bei Drehungen und dem Steiner’schen Satz kann dann der Trägheitstensor des Körpers ohne Integrationen ermittelt werden. In den Tabellen unten sind zu diesem Zweck die Trägheitstensoren einiger einfacher Körper mit homogener Massenverteilung aufgelistet.

Berechnung von Trägheitstensoren

In der Tabelle sind die Trägheitstensoren bezüglich des Ursprungs eines kartesischen Koordinatensystems mit Standardbasis angegeben, die hier – wenn nicht anders angegeben – mit dem Hauptachsensystem zusammen fällt. Sofern der Massenmittelpunkt des Körpers im Ursprung liegt, wird der Trägheitstensor mit Is bezeichnet, ansonsten mit I0, und besitzt die Darstellungen

Darin ist

  • V das Volumen des Körpers,
  • ρ die Dichte,
  • Ix,y,z Hauptträgheitsmoment,
  • der Ortsvektor mit x, y und z-Koordinaten,
  • ⊗ das dyadische Produkt und
  • 1 der Einheitstensor.

Ist eine andere rechtshändige Orthonormalbasis, dann ist

der Trägheitstensor mit Hauptachsensystem . Darin ist

ein orthogonaler Tensor. In der letzten Darstellung wurden die Basisvektoren als Spaltenvektoren angesetzt. Mit dem Steiner’schen Satz kann der Trägheitstensor bezüglich eines beliebigen anderen Bezugspunkts berechnet werden:

Darin ist der Abstandsvektor vom Massenmittelpunkt s, der für die Berechnung von Is verwendet wurde. Insbesondere ist hier

wenn der Massenmittelpunkt nicht im Ursprung liegt.

Von zwei Teilkörpern können die Trägheitstensoren addiert werden, wenn sie bezüglich desselben Bezugspunkts aufgestellt wurden. Trägheitstensoren können auch subtrahiert werden, wenn das Volumen des dazu gehörenden Teilkörpers ausgespart werden soll.

Punktmasse

Eine Punktmasse hat keine Trägheitsmomente bezüglich Achsen, auf der sie liegt. Nach dem Steiner’schen Satz verursacht sie jedoch Trägheitsmomente, wenn sie nicht auf der Drehachse liegt.

Beschreibung Bild Trägheitstensor
Punktmasse m bei x=r. [Anm. 1] PointInertia.svg
Zwei Punktmassen M und m im Abstand a auf der x-Achse und Massenmittelpunkt bei x = 0.

Stab, Parallelogramm und Quader

Beschreibung Bild Trägheitstensor
Schlanker Stab in x-Richtung mit Länge l und Masse m bezüglich eines Endes. [Anm. 1]
Moment of inertia rod end.svg
Schlanker Stab in x-Richtung mit Länge l und Masse m bezüglich seiner Mitte. [Anm. 1]

Dieser Trägheitstensor entsteht beim massiven Quader unten mit b = h = 0.

Moment of inertia rod center.svg
Dünne rechteckige Platte in der xy-Ebene mit Länge w in x-Richtung, Breite h in y-Richtung und Masse m. [Anm. 1]

Dieser Trägheitstensor entsteht beim massiven Quader unten mit h = 0.

Recplane.svg
Dünne parallelogramm­förmige Platte mit Seite l, Höhe h, „Überhang“ p und Masse m. Mit p = 0 entsteht die Rechteckplatte. Nur dort sind die Hauptträgheitsachsen parallel zu den gewählten Koordinatenachsen. Moment of inertia parallelogram.png
Massiver Quader mit Länge l in x-Richtung, Breite b in y-Richtung, Höhe h in z-Richtung und Masse m. [Anm. 1]

Die Trägheitstensoren dünner Platten oder schlanker Stäbe entstehen durch Nullsetzen einer bzw.  zweier Dimensionen b, h oder t.

180x
  1. a b c d e Die Drehachse ist – anders als im Bild dargestellt – beliebig.

Kreisscheibe, Torus und Kugel

Beschreibung Bild Trägheitstensor
Dünner Kreisring mit Radius r und Masse m.

Dies ist der Spezialfall des Torus mit a = 0 und des zylindrischen Rohres mit offenen Enden mit r1 = r2 sowie h = 0.

Moment of inertia hoop.svg
Dünne Scheibe mit Radius r und Masse m.

Dies ist der Spezialfall eines massiven Zylinders mit h = 0.

Moment of inertia disc.svg
Torus mit großem Kreis in der xy-Ebene und Radius b, Radius des kleinen Kreises a und Masse m. Torus cycles (labeled).png

[1]

Kugel mit Radius r und Masse m. Moment of inertia solid sphere.svg
Dickwandige Kugel mit Außenradius r2 und zentrischem kugelförmigen Hohlraum mit Radius r1 sowie Masse m.

Mit dem Innenradius r1 = 0 entsteht der Spezialfall der massiven Kugel.

Aus r1 = r2 entsteht wegen der Spezialfall der dünnwandigen Kugel.

Spherical shell moment of inertia.png [2]
Massives Ellipsoid mit Halbachsen a, b, c in x-, y- bzw.  z-Richtung und Masse m.

Mit a = b = c entsteht eine massive Kugel mit Radius a.

Ellipsoide.png

Dreiecksscheibe und Pyramide

Beschreibung Bild Trägheitstensor
Dünne Dreiecksscheibe mit Höhe h, Grundseite l = p + q′ sowie Masse m. Nur bei Symmetrie mit p = q sind die Hauptträgheitsachsen parallel zu den gewählten Koordinatenachsen. Moment of inertia triangle.png
Rechteck-Pyramide mit Höhe h, Breite a in x-Richtung, Breite b in y-Richtung sowie Masse m bezüglich des Schwerpunkts S. [3] RectangularPyramid.png
Rechteck-Pyramide mit Höhe h, Breite a in x-Richtung, Breite b in y-Richtung sowie Masse m bezüglich der Spitze O.

Kegel

Beschreibung Bild Trägheitstensor
Gerader massiver Kreis­ kegel mit Radius r, Höhe h und Masse m bezüglich seines Schwerpunkts. Moment-of-inertia-cone-center-of-mass.png
Gerader Kreis­ kegel mit Radius r, Höhe h und Masse m bezüglich seiner Spitze. [4] Moment of inertia cone.svg

Rohr und Zylinder

Beschreibung Bild Trägheitstensor
Massiver Zylinder mit Radius r, Höhe h und Masse m Moment of inertia solid cylinder.svg
Dickwandiges zylindrisches Rohr mit offenen Enden, innerem Radius r1, äußerem Radius r2, Länge h und Masse m Moment of inertia thick cylinder h.svg

Beliebige rotationssymmetrische Körper

Die Berechnung des Trägheitstensors mit Volumenintegralen lässt sich bei Rotationskörpern mit dem Trägheitstensor für die dünne Kreisscheibe und den Steiner’schen Satz vereinfachen, denn dann kann der Körper aus (infinitesimal) dünnen Kreisscheiben zusammen gesetzt gedacht werden.

Das Material des Körpers habe die Dichte ρ, seine Figurenachse liege in z-Richtung und die erzeugende Kurve sei durch den Radius r( z ) gegeben. Die Masse der Kreisscheiben mit Dicke t ist an der Stelle z

Um ihren Mittelpunkt hat die Kreisscheibe bei z den Trägheitstensor

Bezüglich des Ursprungs kommt noch der Steiner’sche Anteil

hinzu. Somit entsteht der Trägheitstensor aus dem Integral

über Kreisscheiben der Dicke dz.

Der Trägheitstensor für den geraden Kreiskegel mit Radius r und Höhe h bezüglich seines Massenmittelpunkts entsteht so mit im Intervall [-¼ h, ¾ h] und seiner Masse .

Platonische Körper

Bei den Platonischen Körpern sind die drei Hauptträgheitsmomente gleich.

Beschreibung Bild Trägheitstensor
(Diagonalelement)
Regelmäßiges Tetraeder mit Kantenlänge s und Masse m. Euclid Tetrahedron 4.svg [5]
Regelmäßiges Oktaeder mit Kantenlänge s und Masse m. Euclid Octahedron 3.svg [5]
Regelmäßiges Dodekaeder mit Kantenlänge s und Masse m. Geometria - Dodecaedro.jpg
wobei [5]
Regelmäßiges Ikosaeder mit Kantenlänge s und Masse m. Icosahedron.svg
wobei [5]

Beispiel

Es soll die Berechnung des Trägheitstensors von (unsymmetrischen) Parallelogrammen, Dreiecken und daraus des Tetraeders vorgeführt werden.

Parallelogramm

Parallelogramm mit Massenmittelpunkt im Ursprung.

Der Trägheitstensor eines Parallelogramms kann mit den Trägheitstensoren von in x- und y-Richtung verschobenen Stäben berechnet werden, siehe Bild. Ein Stab in x-Richtung der Länge l, Breite b, Dicke d und Dichte ρ besitzt den Trägheitstensor

Wird dieser in den Schwerpunkt bei (xs, ys) verschoben, addiert sich der Steiner’scher Anteil

Mit xs=ys cotα im Parallelogramm wird daraus:

Integration dieses Trägheitstensors über das Intervall ys ∈ [ -½ h, ½ h ] liefert den Trägheitstensor des Parallelogramms:

Mit m = ρ d h l und p = h cotα lautet der Trägheitstensor eines Parallelogramms:

Nur bei p = 0 sind die Hauptachsen parallel zum gewählten Koordinatensystem und es entsteht der Trägheitstensor der Rechteckplatte.

Dreieck

Rechteck aus zwei Dreiecken

Teilung des Parallelogramms entlang einer Diagonale in zwei Dreiecke mit Masse md = ½ mp liefert deren Trägheitstensor bezüglich des Ursprungs:

Der Schwerpunkt des Dreiecks (gelb) liegt im Schwerpunkt seiner Ecken:

Bei Verschiebung des Schwerpunkts in den Ursprung subtrahiert sich der Steiner’sche Anteil

woraus der Trägheitstensor eines Dreiecks entsteht:

Nur bei Symmetrie mit p = q sind die Hauptträgheitsachsen parallel zu den gewählten Koordinatenachsen.

Die folgenden Spezialfälle sind hervorzuheben:

  • Rechtwinklige Dreiecke entstehen mit p q = h² oder p = 0 und q = l.
  • Gleichschenklige Dreiecke haben p = q = ½ l.
  • Gleichseitige Dreiecke ergeben sich mit p = q = ½ l und h² = ¾ l².

Tetraeder

Der Trägheitstensor des regelmäßigen Tetraeders kann berechnet werden, indem es in gleichseitige Dreiecksscheiben zerlegt wird und deren Trägheitstensoren aufsummiert werden. Die Masse einer gleichseitigen Dreiecksscheibe mit Dichte ρ, Kantenlänge l, Höhe h und Dicke d ist . Damit lautet der Trägheitstensor:

Diese Dreiecksscheibe wird in z-Richtung verschoben was durch den Steiner’schen Anteil

zu berücksichtigen ist. Zusammen genommen lautet der Trägheitstensor der Dreiecksscheibe im Abstand z von der xy-Ebene:

Das Tetraeder hat die Höhe und wenn der Schwerpunkt im Ursprung liegt, dann ist die Grundseite bei und die gegenüberliegende Ecke bei . Daraus ergibt sich die Kantenlänge der Dreiecksscheiben in der Höhe z zu:

Mit diesen Definitionen berechnet sich der Trägheitstensor des Tetraeders:

wobei seine Masse ist.

Literatur

  1. Eric W. Weisstein: Moment of Inertia – Ring. Wolfram Research, abgerufen am 14. Dezember 2016.
  2. Raymond A. Serway: Physics for Scientists and Engineers. Saunders College Publishing, 1986, ISBN 0-03-004534-7, S. 202.
  3. Karl-Heinrich Grote, Jörg Feldhusen (Hrsg.): Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer Vieweg Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38891-0, S. B31, doi: 10.1007/978-3-642-38891-0 ( eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 13. Januar 2018]).
  4. Ferdinund P. Beer und E. Russell Johnston, Jr: Vector Mechanics for Engineers. McGraw-Hill, 1984, ISBN 0-07-004389-2, S. 911.
  5. a b c d John Satterly: The Moments of Inertia of Some Polyhedra. In: The Mathematical Gazette. Band 42, Nr. 339. Mathematical Association, 1958, S. 11–13, doi: 10.2307/3608345.