Kugelschicht Information

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Kugelschicht

Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

Formeln

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet den Radius der Kugel, die Radien der Begrenzungskreise und die Höhe der Kugelschicht.

Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Die Kugelschicht ist durch drei beliebige dieser vier Größen bestimmt. Aus drei der vier Größen lässt sich die vierte berechnen.

Größen eines Kugelsegments mit dem Radius r der Kugel, den Radien a1, a2 der Begrenzungskreise und den Höhen h, h1, h2
Volumen
Flächeninhalt der Mantelfläche
Oberflächeninhalt

Herleitung

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei die Höhe von und die Höhe von . Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind (siehe Kugelsegment). Also ist

Mit den Beziehungen (siehe Kugelsegment) ergibt sich

Da ist, folgt die obige Formel:

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

Beziehung der Parameter

Für den Beweis der Beziehung zwischen sei der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt . Dann gilt

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach auf, so erhält man und mit der ersten Gleichung folgt

Siehe auch

Literatur

  • I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
  • L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.

Weblinks