Eine Kugelschicht , auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer
Kugel , der von zwei
parallelen
Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.
Formeln Für die Berechnung von
Volumen ,
Mantelfläche und
Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden
Formeln . Dabei bezeichnet
r
{\displaystyle r}
Radius der
Kugel ,
a
1
,
a
2
{\displaystyle a_{1},a_{2}}
h
{\displaystyle h}
Höhe der Kugelschicht.
Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Die Kugelschicht ist durch drei beliebige dieser vier Größen bestimmt. Aus drei der vier Größen lässt sich die vierte berechnen.
Größen eines Kugelsegments mit dem Radius r der Kugel, den Radien a1 , a2 der Begrenzungskreise und den Höhen h , h1 , h2
Volumen
V
=
π
3
⋅
(
h
1
−
h
2
)
⋅
(
3
⋅
(
h
1
+
h
2
)
⋅
r
−
(
h
1
2
+
h
1
⋅
h
2
+
h
2
2
)
)
{\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))}
V
=
π
6
⋅
h
⋅
(
3
⋅
a
1
2
+
3
⋅
a
2
2
+
h
2
)
{\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})}
Flächeninhalt der
Mantelfläche
M
=
2
⋅
π
⋅
r
⋅
h
{\displaystyle M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h}
M
=
2
⋅
π
⋅
h
⋅
(
a
1
2
+
(
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
⋅
h
)
2
)
1
2
{\displaystyle M=2\cdot \pi \cdot h\cdot \left(a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}
Oberflächeninhalt
O
=
π
⋅
(
2
⋅
r
⋅
h
+
a
1
2
+
a
2
2
)
{\displaystyle O=\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})}
O
=
π
⋅
(
2
⋅
h
⋅
(
a
1
2
+
(
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
⋅
h
)
2
)
1
2
+
a
1
2
+
a
2
2
)
{\displaystyle O=\pi \cdot (2\cdot h\cdot \left(a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}\right)^{\frac {1}{2}}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})}
Herleitung Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das
Kugelsegment
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}
Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei
h
1
{\displaystyle h_{1}}
Höhe von
S
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}
h
2
{\displaystyle h_{2}}
S
2
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}
Volumina der beiden Kugelsegmente sind
V
1
=
π
3
⋅
h
1
2
⋅
(
3
⋅
r
−
h
1
)
,
V
2
=
π
3
⋅
h
2
2
⋅
(
3
⋅
r
−
h
2
)
{\displaystyle V_{1}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{1}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{1}),\ V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{2}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{2})}
Kugelsegment ). Also ist
V
=
V
1
−
V
2
=
π
3
⋅
(
3
⋅
(
h
1
2
−
h
2
2
)
⋅
r
−
(
h
1
3
−
h
2
3
)
)
=
π
3
⋅
(
h
1
−
h
2
)
⋅
(
3
⋅
(
h
1
+
h
2
)
⋅
r
−
(
h
1
2
+
h
1
⋅
h
2
+
h
2
2
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot (3\cdot (h_{1}^{2}-h_{2}^{2})\cdot r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}))\\&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))\end{aligned}}}
Mit den Beziehungen
2
⋅
r
⋅
h
1
=
a
1
2
+
h
1
2
,
2
⋅
r
⋅
h
2
=
a
2
2
+
h
2
2
{\displaystyle 2\cdot r\cdot h_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2\cdot r\cdot h_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2}}
Kugelsegment ) ergibt sich
V
=
π
3
⋅
(
h
1
−
h
2
)
⋅
(
3
2
⋅
(
a
1
2
+
h
1
2
+
a
2
2
+
h
2
2
)
−
h
1
2
−
h
1
⋅
h
2
−
h
2
2
)
=
π
6
⋅
(
h
1
−
h
2
)
⋅
(
3
⋅
(
a
1
2
+
a
2
2
)
+
(
h
1
−
h
2
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot (a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}\cdot h_{2}-h_{2}^{2}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})\end{aligned}}}
Da
h
=
h
1
−
h
2
{\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}
V
=
π
6
⋅
h
⋅
(
3
⋅
a
1
2
+
3
⋅
a
2
2
+
h
2
)
{\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})}
Für die
Mantelfläche ergibt sich analog
M
=
M
1
−
M
2
=
2
⋅
π
⋅
r
⋅
h
1
−
2
⋅
π
⋅
r
⋅
h
2
=
2
⋅
π
⋅
r
⋅
(
h
1
−
h
2
)
=
2
⋅
π
⋅
r
⋅
h
{\displaystyle M=M_{1}-M_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{1}-2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h_{1}-h_{2})=2\cdot \pi \cdot r\cdot h}
Beziehung der Parameter Für den Beweis der Beziehung zwischen
r
,
a
1
,
a
2
,
h
{\displaystyle r,a_{1},a_{2},h}
d
{\displaystyle d}
Ebene zum Kugelmittelpunkt
M
{\displaystyle M}
r
2
=
d
2
+
a
1
2
,
r
2
=
(
d
+
h
)
2
+
a
2
2
{\displaystyle r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2},\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}}
Setzt man die beiden
Gleichungen gleich und löst nach
d
{\displaystyle d}
d
=
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
⋅
h
{\displaystyle d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}}
Gleichung folgt
r
2
=
a
1
2
+
(
a
1
2
−
a
2
2
−
h
2
2
⋅
h
)
2
{\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}
Siehe auch Literatur I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001,
ISBN 3-8171-2005-2 .
Kleine Enzyklopädie Mathematik , Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000,
ISBN 3-464-41304-7 . Weblinks 
